Zasada Archimedesa

Zasada Archimedesa została nazwana na cześć greckiego uczonego Archimedesa , który żył ponad 2000 lat temu i był pierwszym, który sformułował ten fakt, jako szesnasta propozycja w jego pracy O pływających ciałach brzmi:

Rysunek 1: schematyczny podnośnik

Zasada Archimedesa ma zastosowanie do wszystkich płynów , tj. H. do dobrego przybliżenia w cieczach i gazach . Statki wypierają wodę, dzięki czemu zyskują na pływalności. Ponieważ średnia gęstość statku jest mniejsza niż gęstość wody, statek unosi się na powierzchni. Z tej właściwości korzystają nawet balony i sterowce . Są wypełnione gazem, którego gęstość jest mniejsza niż gęstość otaczającego powietrza. W wielu statkach powietrznych i balonach gazy te (np. Hel lub wodór ) mają naturalnie mniejszą gęstość niż powietrze; W balonach i statkach powietrznych na ogrzane powietrze powietrze jest podgrzewane za pomocą palników gazowych, co zmniejsza jego gęstość.

Wyjaśnienie zjawiska

Rysunek 2: Siła (b) na dole (ciśnienie w wodzie) jest większa niż siła (a) na górze. Siły boczne (c i d) nie mają znaczenia dla wyporu

Zdjęcie 3: Siła działająca na punkt (w cieczach lub gazach) jest taka sama we wszystkich kierunkach.

W uproszczonym ujęciu, przyczyną siły wyporu jest to, że ciśnienie hydrostatyczne jest różne na górze i na dole zanurzonego ciała. Ta różnica ciśnień skutkuje różnymi siłami na spodzie i na górnej stronie zanurzonego korpusu; większa siła działa na spód niż na części powierzchni położone wyżej.

Przykładowe obliczenia

W przykładzie (rys. 1) zakładamy sześcian o długości krawędzi 20 cm. Jest zanurzony 10 cm pod powierzchnią wody.

Obliczenia na podstawie różnic ciśnień

Ciśnienie wytwarzane przez 1 m wody jest . Tak więc na górnej stronie korpusu ze słupem wody znajduje się , na spodzie ze słupem wody . Ciśnienie powietrza jest dodawane do obu wartości i nie musi być brane pod uwagę w dalszych obliczeniach. ${\ Displaystyle 9810 ~ {\ Frac {\ mathrm {N}} {{\ mathrm {m.}} ^ {2}}} = 9810 ~ \ mathrm {Pa}}$${\ displaystyle 0 {,} 1 ~ \ mathrm {m.}}$${\ Displaystyle 981 ~ \ mathrm {Pa}}$${\ displaystyle 0 {,} 3 ~ \ mathrm {m.}}$${\ displaystyle 2943 ~ \ mathrm {Pa}}$

Siła działa w ten sposób na dolną powierzchnię (rys. 1)${\ displaystyle A _ {\ text {poniżej}}}$

${\ Displaystyle F _ {\ tekst {poniżej}} = 2943 ~ {\ Frac {\ mathrm {N}} {{\ mathrm {m.}} ^ {2}}} \ cdot 0 {,} 04 \ \, \ mathrm {m} ^ {2} = {\ underline {117 {,} 72 \, \ mathrm {N}}}}$

w górę. Natomiast siła działa na górną powierzchnię${\ displaystyle A _ {\ text {powyżej}}}$

${\ Displaystyle F _ {\ tekst {powyżej}} = 981 ~ {\ Frac {\ mathrm {N}} {{\ mathrm {m.}} ^ {2}}} \ cdot 0 {,} 04 \, \ mathrm {m} ^ {2} = {\ underline {39 {,} 24 \, {\ rm {N}}}}}$

zniżkowy. Różnicę między tymi siłami, tj. Wypór tego ciała, oblicza się w następujący sposób

${\ Displaystyle F _ {\ text {pływalność}} = F _ {\ tekst {poniżej}} - F _ {\ tekst {powyżej}} = 117 {,} 72 \, \ mathrm {N} -39 {,} 24 \, \ mathrm {N} = {\ underline {78 {,} 48 \, \ mathrm {N}}}}$.

Obliczenia według zasady Archimedesa

Archimedes, obowiązują następujące zasady: . Nawiązując do przykładu (rysunek 1) możemy napisać: ${\ displaystyle F _ {\ text {pływalność}} = F _ {\ text {waga, płyn}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F _ {\ tekst {Wyporność}} & = V _ {\ mathrm {verdr {\ ddot {a}} ngt}} \ cdot \ rho _ {\ tekst {płyn}} \ cdot g \\ & = 8000 \, \ mathrm {cm} ^ {3} \ cdot 1 \, {\ frac {g} {\ mathrm {cm} ^ {3}}} \ cdot 9 {,} 81 \ cdot 10 ^ {-3} \, {\ frac {\ mathrm {N}} {g}} \\ & = {\ underline {78 {,} 48 \, \ mathrm {N}}} \ end {aligned}} }$

Wykorzystano gęstość płynu, stosunek do masy i objętości oraz czynnik przestrzenny . Widzimy, że obie metody prowadzą do tego samego wyniku. ${\ displaystyle \ rho _ {\ text {płynny}}}$${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m.} {V}}}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle g}$

Eksperyment myślowy

Poniższy eksperyment myślowy ilustruje poprawność zasady Archimedesa. Aby to zrobić, wyobraź sobie płyn w spoczynku. Każda część płynu jest zaznaczona w płynie. Znak można sobie wyobrazić jako rodzaj balonu wodnego w zbiorniku z wodą, tyle tylko, że jego skóra jest nieskończenie cienka i bezmasowa i może przybierać dowolny kształt.

Stwierdzono teraz, że część płynu oznaczona w ten sposób w płynie ani nie podnosi się, ani nie opada, ponieważ cały płyn jest w spoczynku - zaznaczona część unosi się w stanie nieważkości w otaczającym go płynie, że tak powiem. Oznacza to, że wypór zaznaczonej części płynu dokładnie kompensuje jego wagę. Z tego można wywnioskować, że siła wyporu zaznaczonej części płynu dokładnie odpowiada jego masie. Ponieważ znakowanie w płynie jest dowolne, pokazano poprawność zasady Archimedesa dla jednorodnych płynów.

Powstań, zatop się, płyń

Aby ciało mogło utrzymać pozycję opisaną na rysunku, jego ciężar musi być równy ciężarowi wypartej wody (78,48 N). Wtedy wszystkie siły działające na ciało wzajemnie się znoszą i ciało zatrzymuje się. Zgodnie z formułą ciało musi ważyć 8000 g. Ponadto miałby gęstość 1 kg / dm ³ , czyli gęstość wody. ${\ displaystyle m = {\ tfrac {F _ {\ text {waga}}} {g}}}$${\ displaystyle \ rho = {\ tfrac {m.} {V}}}$

Możemy więc sformułować następującą zasadę:

• Jeśli tak , to ciało pływa.${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {K {\ ddot {o}} rper}} = \ rho _ {\ text {płynny}}}$
• Jeśli tak , ciało się unosi.${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {K {\ ddot {o}} rper}} <\ rho _ {\ text {płynny}}}$
• Jeśli tak , ciało tonie.${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {K {\ ddot {o}} rper}}> \ rho _ {\ text {płynny}}}$

Ciała unoszą się lub opadają, dopóki ciężar nie zostanie przeciwstawiony siłą równej wielkości. Może to spowodować zmianę gęstości płynu lub dna kubka podczas tonięcia. Ciało często unosi się, aż przebije się przez powierzchnię. W tym przypadku:

${\ Displaystyle V _ {\ text {immersed}} \ cdot \ rho _ {\ text {płyn}} = V _ {\ mathrm {K {\ ddot {o}} rper}} \ cdot \ rho _ {\ mathrm {K {\ ddot {o}} rper}}}$

Odkrycie prawa Archimedesa

Eksperyment potwierdzający zasadę Archimedesa, ilustracja z 1547 r

Archimedes został poproszony przez króla Hierona II z Syrakuz o ustalenie, czy jego korona została wykonana z czystego złota zgodnie z zamówieniem, czy też materiał został rozciągnięty przez tańszy metal. Zadanie to początkowo sprawiało Archimedesowi problemy, gdyż korony oczywiście nie można było zniszczyć.

Zgodnie z tradycją Archimedes w końcu wpadł na pomysł ratunku, kiedy wszedł do wanny wypełnionej po brzegi, aby się wykąpać i woda przelewała się. Zdał sobie sprawę, że ilość wody, która się przelała, odpowiadała dokładnie objętości jego ciała. Podobno wtedy biegał nago po ulicach i krzyczał „ Eureka !” („Znalazłem to”) .

Aby rozwiązać zadany problem, zanurzył raz koronę, a potem sztabkę złota , która ważyła tyle co korona, w wypełnionym po brzegi zbiorniku na wodę i zmierzył ilość przelewającej się wody. Ponieważ korona wypierała więcej wody niż sztabka złota, a zatem była bardziej obszerna przy tej samej wadze, musiała być wykonana z materiału o mniejszej gęstości, tj. Nie z czystego złota.

Ta historia została przekazana przez rzymskiego architekta Witruwiusza .

Chociaż legenda głosi, że odkrycie zasady Archimedesa było oparte na tej historii, eksperyment Archimedesa zadziałałby z każdym innym płynem. Najciekawsza rzecz związana z zasadą Archimedesa, a mianowicie stworzenie pływalności, a tym samym obliczenie gęstości płynu, nie odgrywa roli w tej historii odkrycia.

Pochodzenie fizyczne

Ciało jest obciążane ciśnieniem, które otaczający ośrodek (ciecz lub gaz) wywiera na jego powierzchnię. Rozważany odcinek powierzchni z zawartością jest tak mały, że jest praktycznie równy, a ciśnienie na jego obszarze jest stałe. Niech wektor jednostkowy normalnej powierzchni zewnętrznej powierzchni częściowej będzie . Medium wykonuje wtedy siłę ${\ displaystyle p> 0}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {A} = - pA {\ vec {e}} _ {n}}$

na odcinku. Suma tych sił we wszystkich sekcjach daje całkowitą siłę nośną.

Do wyprowadzenia zasady Archimedesa

Nośność gumowego balonu wypełnionego wodorem

Zasada Archimedesa ma zastosowanie tylko wtedy, gdy przemieszczane medium jest nieściśliwe ( nieściśliwe ). Do płynów takich jak B. woda jest to spełnione, więc w dalszej części przyjmiemy ciało zanurzone w cieczy o gęstości (ściśle rzecz biorąc zależnej od temperatury) . ${\ displaystyle \ rho}$

W cieczy ciężar kolumny masy cieczy spoczywa na poziomej powierzchni o takiej wielkości w głębokości . Dlatego ciśnienie na tej głębokości jest ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle m = \ rho Az}$

${\ Displaystyle p (z) = {\ Frac {mg} {A}} = \ rho gz}$.

Jeśli różnice wysokości nie są zbyt duże, odpowiednia krzywa ciśnienia obowiązuje również w powietrzu lub innych gazach (tj. Ściśliwość nie ma znaczenia; przy dużych różnicach wysokości należałoby uwzględnić zmienną gęstość). Dlatego poniższe rozważania mają również zastosowanie do realistycznie dużych sterowców lub balonów. ${\ displaystyle z}$

W przypadku prostych kształtów geometrycznych ważność zasady Archimedesa można obliczyć ręcznie przy użyciu prostych środków. Dla prostopadłościanu o podstawie i wysokości zanurzonej pionowo w cieczy uzyskuje się np .: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle h}$

• Siła na górnej podstawie z normalną do powierzchni : ${\ displaystyle - {\ vec {e}} _ {z}}$

  ${\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {\ tekst {o}} = - p (z_ {0}) A (- {\ vec {e}} _ {z}) = \ rho gz_ {0} A {\ vec {e}} _ {z}}$

• Siła działająca na dolną podstawę z normalną do powierzchni : ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z}}$

  ${\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {\ tekst {u}} = - p (z_ {0} + h) a {\ vec {e}} _ {z} = - \ rho g (z_ {0 } + h) A {\ vec {e}} _ {z}}$

• Siły działające na powierzchnie boczne zawsze znoszą się nawzajem.
• Zatem całkowita siła nośna wynosi

  ${\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ vec {F}} _ {\ text {o}} + {\ vec {F}} _ {\ text {u}} = - \ rho ghA {\ vec {e}} _ {z} = - \ rho gV {\ vec {e}} _ {z}.}$

Tutaj jest przemieszczona objętość, czyli przemieszczona masa i jej ciężar. Zasada Archimedesa jest w ten sposób spełniona. Znak minus jest pomijany, jeśli -osi jest wybrana w górę. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ rho V}$${\ displaystyle \ rho Vg}$${\ displaystyle z}$

W przypadku ciała o dowolnym kształcie całkowitą siłę wyporu oblicza się z całki powierzchniowej ${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

${\ Displaystyle {\ vec {F}} = - \ oint _ {\ częściowe {\ mathcal {V}}} p \ \ mathrm {d} {\ vec {A}}.}$

Z twierdzeniem o całkowaniu

${\ Displaystyle \ oint _ {\ częściowe {\ mathcal {V}}} p \, \ mathrm {d} {\ vec {A}} = \ int _ {\ mathcal {V}} \ operatorname {grad} p \ , \ mathrm {d} V}$

i wynika z tego ${\ displaystyle \ operatorname {grad} p = \ rho g {\ vec {e}} _ {z}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} = - \ rho gV {\ vec {e}} _ {z}}$.

linki internetowe

• Interaktywny eksperyment dotyczący wielkości siły wyporu działającej na ciało zanurzone w cieczy
• eksperyment: eksperyment Archimedesa. W: mister-mueller.de. Zarchiwizowane z oryginałem na 25 września 2016 roku (replika eksperymentu za pomocą prostych środków).; dostęp 30 listopada 2020 r 

Indywidualne dowody

1. ↑ Acott, CJ: Nurkujący „prawnicy ”: List podsumowujący ich życie. 1999 ( rubicon-foundation.org [dostęp 3 marca 2020]). 
2. ^ Károly Simonyi: kulturowa historia fizyki . Harri Deutsch, Thun, Frankfurt a. M. 1995, ISBN 3-8171-1379-X , str. 89 f .  Archimedes sformułował według Simonyi: „Każde ciało, które jest lżejsze od wody, po zanurzeniu dąży do góry z siłą wynikającą z różnicy między ciężarem wody wypartej przez ciało a ciężarem samego ciała. Jeśli jednak ciało jest cięższe od wody, będzie ściągane w dół z siłą wynikającą z różnicy między masą ciała a ciężarem wypartej wody. "