oktaedr

oktaedr
Rodzaj powierzchni bocznych	trójkąty równoboczne
Liczba twarzy	ósmy
Liczba rogów	6.
Liczba krawędzi	12.
Ikona Schläfli	{3.4}
podwójny do	Sześcian (kostka)
Siatka na ciało
Liczba różnych sieci	11
Liczba krawędzi w rogu	4.
Liczba rogów powierzchni	3
Oktaedron w formacie STL

Ośmiościan (również, zwłaszcza austriacki : the) [ ɔktaˈeːdɐ ] (od starożytnej greki ὀκτάεδρος oktáedros , niemiecki 'ośmiościan' ) jest jedną z pięciu brył platońskich , a dokładniej wielościan foremny ( wielościan , wielościan ) z

• 8 przystających trójkątów równobocznych jako powierzchnie boczne
• 12 krawędzi o równej długości i
• 6 rogów, w których spotykają się cztery boki

Jest to zarówno równoboczna czworoboczna podwójna piramida o podstawie kwadratowej - w jej właściwości jako regularny politop krzyżowy trzeciego wymiaru - jak i równoboczny antypryzmat z trójkątem równobocznym jako podstawą .

symetria

Trzy prostopadłe do siebie kwadraty, z których każdy tworzy podstawę podwójnej piramidy.

Oktaedron z przykładami osi obrotu i dwiema płaszczyznami symetrii (czerwona i zielona)${\ styl wyświetlania C_ {4}, C_ {3}, C_ {2}}$

Ze względu na dużą symetrię – wszystkie naroża , krawędzie i powierzchnie są do siebie podobne – ośmiościan jest regularnym wielościanem . To ma:

• 3 poczwórne osie obrotu (przez przeciwległe narożniki)${\ styl wyświetlania C_ {4}}$
• 4 trojakie osie obrotu (poprzez centra przeciwległych powierzchniach )${\ styl wyświetlania C_ {3}}$
• 6 podwójnych osi obrotu (poprzez środki przeciwległych krawędzi)${\ styl wyświetlania C_ {2}}$
• 9 poziomów symetrii (3 poziomy przez cztery rogi każdy (np. czerwony), 6 poziomów przez dwa rogi każdy i dwa środki krawędzi (np. zielony))
• 14 obrotów (6 o 90 ° z płaszczyznami przechodzącymi przez cztery rogi każda i 8 o 60 ° z płaszczyznami przechodzącymi przez sześć środków krawędzi każda)

i jest

• punkt symetryczny do środka.

W sumie grupa symetrii ośmiościanu - grupa ośmiościanu lub grupa sześcianów - ma 48 elementów.

Relacje z innymi wielościanami

Ośmiościan to podwójny wielościan do sześcianu ( sześcian ) (rys. 1) i na odwrót.

Zdjęcie 2: Dwie czworościany regularne wpisane w sześcian tworzą czworościan gwiaździsty

Rys. 1: Oktaedr z podwójnym sześcianem . W ośrodkach tych kwadratów są kąciki ośmiokąta.

Dwa czworościany foremne (patrz Rysunek 2: jeden czworościan w odcieniach czerwieni, drugi w odcieniach zieleni) można wpisać w sześcian w taki sposób, że rogi są jednocześnie narożnikami sześcianu, a krawędzie są przekątnymi powierzchni sześcianu. Unia jest gwiazda czworościanu

Trójwymiarowy przecięcia dwóch czworościanów (fig. 3) jest ośmiościan połową długości boku. Jeśli na ośmiu ścianach czworościanu ośmiościanu utworzyć również czworościan gwiaździsty.

Jeśli ośmiościan jest ograniczony przez regularne Tetrahedron (fig. 4), w wieku 6 naroża ośmiościanu są ośrodki 6 czworościanu krawędzi i 4 8 ośmiościanu powierzchnie leżą na powierzchniach bocznych jednego z dwóch możliwych czworościanów. Ośmiościan powstaje, gdy z czworościanu o podwójnej długości krawędzi zostaną odcięte 4 czworościany o tej samej długości boku.

Za pomocą oktaedry i sześcianu można skonstruować wiele ciał, które również posiadają grupę oktaedronową jako grupę symetrii . Więc dostajesz na przykład

• obcięty ośmiościan z 8 sześciokątów i 6 kwadratów
• sześcio-ośmiościan z 8 trójkątów i 6 kwadratów, to znaczy z 14 powierzchni i 12 rogach
• sześcian ścięty z 8 trójkątów i 6 ośmiokątami

jako przecięcie ośmiościanu z sześcianem (patrz bryły Archimedesa ) i

• dwunastościan rombowy z 8 + 6 = 14 narożach i 12 pastylek naznaczonym

jako wypukły kadłub połączenia ośmiościanu z sześcianem .

Zdjęcie 3: Dwie czworościany w sześcianie mają ośmiościan o długości połowy boku jako trójwymiarowe przecięcie .

Ryc. 4: Czworościan foremny o boku dwukrotnie dłuższym opisuje ośmiościan. 6 rogów ośmiościanu jest wtedy środkami 6 krawędzi czworościanu.

Formuły

Rozmiary ośmiościanu o długości krawędzi a
Tom	${\ displaystyle V = {\ frac {a ^ {3}} {3}} \ cdot {\ sqrt {2}} \ ok 0 {,} 471 \ cdot a ^ {3}}$	bez stałych kątów w rogach${\ styl wyświetlania \ Omega}$
Powierzchnia	${\ displaystyle A_ {O} = 2 \ razy a ^ {2} \ razy {\ sqrt {3}} \ około 3 {,} 464 \ razy a ^ {2}}$
Umkugelradius	${\ displaystyle r_ {u} = h_ {p} = {\ frac {a} {\ sqrt {2}}} \ około 0 {,} 707 \ cdot a}$
Promień kulki krawędzi	${\ displaystyle r_ {k} = {\ frac {a} {2}} = 0 {,} 5 \ cdot a}$
Inc promień kuli	${\ displaystyle r_ {i} = {\ frac {a} {6}} \ cdot {\ sqrt {6}} \ około 0 {,} 408 \ cdot a}$
Stosunek objętości  do objętości kuli	${\ displaystyle {\ frac {V} {V_ {Wielka Brytania}}} = {\ frac {1} {\ pi}} \ około 0 {,} 318}$
Kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego	${\ displaystyle \ alfa = 60 ^ {\ circ}}$
Kąt między sąsiednimi ścianami	${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ po lewej (- {\ frac {1} {3}} \ po prawej)}$  ${\ displaystyle \ ok 109 ^ {\ circ} \; 28 ^ {\ prime} \;16 ^ {\ prime \ prime}}$
Kąt między krawędzią a twarzą	${\ displaystyle \ gamma = 45 ^ {\ circ}}$
Kąty krawędzi 3D	${\ styl wyświetlania \ delta = 90 ^ {\ circ}}$
Pełne kąty w rogach	${\ displaystyle \ Omega = \ arccos \ po lewej ({\ frac {17} {81}} \ po prawej) \ około 1 {,} 3594 \; \ matematyka {sr}}$
Kulistość	${\ displaystyle \ Psi = {\ sqrt [{3}] {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}} \ około 0 {,} 846}$

Obliczanie regularnego ośmiościanu

Tom

Oktaed składa się zasadniczo z dwóch złożonych piramid o kwadratowej podstawie i długości krawędzi edge${\ styl wyświetlania A_ {Gp}}$${\ styl wyświetlania a.}$

Dla piramid, a więc dla połowy objętości ośmiościanu obowiązuje

${\ displaystyle V_ {p} = {\ frac {1} {3}} \ cdot A_ {G_ {p}} \ cdot h_ {p},}$

tam jest obszar bazowy ( kwadrat )

${\ displaystyle A_ {G} = a ^ {2},}$

a wysokość tej piramidy

${\ displaystyle h_ {p} = {\ frac {a} {\ sqrt {2}}},}$

z wstawionymi zmiennymi i współczynnikiem 2

${\ displaystyle {\ begin {wyrównany} V & = 2 \ cdot \ left ({\ frac {1} {3}} \ cdot a ^ {2} \ cdot {\ frac {a} {\ sqrt {2}} } \ po prawej) \\ & = {\ frac {a ^ {3}} {3}} \ cdot {\ sqrt {2}} \; \ ok 0 {,} 471 \ cdot a ^ {3} \ end { wyrównane }}}$

Jeśli objętość w regularnych Tetrahedron jest znana jako funkcja długości krawędzi, wówczas objętość ośmiościanu może być obliczana jako różnica pomiędzy objętością o ograniczonych Tetrahedron o długości krawędzi i 4 zgodnego czworościanów do długości krawędzi . Logicznie rzecz biorąc, wynikiem jest ta sama objętość ${\ styl wyświetlania 2 \ cdot a}$${\ styl wyświetlania a}$

${\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} V & = {\ frac {(2 \ cdot a) ^ {3}} {12}} \ cdot {\ sqrt {2}} - 4 \ cdot {\ frac {a ^ { 3}} {12}} \ cdot {\ sqrt {2}} \\ & = {\ frac {a ^ {3}} {3}} \ cdot {\ sqrt {2}} \; \ ok 0 { , } 471 \ cdot a ^ {3} \ end {wyrównany}}}$

Powierzchnia

Poniższe dotyczy pola powierzchni ośmiościanu (osiem trójkątów równobocznych) ${\ styl wyświetlania A_ {O}}$

${\ displaystyle A_ {O} = 8 \ cdot {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} \ cdot a ^ {2} = 2 \ cdot a ^ {2} \ cdot {\ sqrt {3}} \ ok 3 {,} 464 \ cdot a ^ {2}.}$

Wysokość piramidy

Wysokość piramidy można określić za pomocą następującego trójkąta prostokątnego. ${\ displaystyle h_ {p}}$

W długości boków trójkąta są (patrz rysunek w formułach ) Wysokość boku jako przeciwprostokątną, piramida wysokości jak dużej stronie i połową długości krawędzi ostrosłupa jako małe. ${\ styl wyświetlania h_ {s}}$${\ displaystyle h_ {p}}$${\ styl wyświetlania {\ tfrac {1} {2}} \ cdot a}$

Poniższe dotyczy wysokości trójkąta równobocznego ${\ styl wyświetlania h_ {s}}$

 ${\ displaystyle h_ {s} = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ cdot a}$

i zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa ma zastosowanie

${\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \; h_ {p} ^ {2} & = h_ {s} ^ {2} - \ po lewej ({\ frac {1} {2}} \ cdot a \ po prawej) ^ {2} = h_ {s} ^ {2} - {\ frac {1} {4}} \ cdot a ^ {2} = {\ frac {3} {4}} \ cdot a ^ {2} - { \ frac {1} {4}} \ cdot a ^ {2} \; \ Rightarrow \\ & = {\ frac {1} {2}} \ cdot a ^ {2} \ Rightarrow \\ h_ {p} & = {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ cdot a ^ {2}}} = {\ sqrt {\ frac {1} {2}}} \ cdot a = {\ frac {a} { \ sqrt {2}}} \; \ ok 0 {,} 707 \ cdot a. \; \ end {wyrównany}}}$

Kąt między sąsiednimi ścianami

Kąt ten, oznaczony (patrz rysunek we wzorach ), ma swój wierzchołek na jednej krawędzi ośmiościanu. Można go określić za pomocą następującego trójkąta prostokątnego. ${\ styl wyświetlania \ beta}$

Długości boków tego trójkąta to: promień krawędzi sfery jako przeciwprostokątna, promień siekacza jako duża katetka i jedna trzecia wysokości boku jako mała katetka. Wartość ta jest określona przez położenie środka ciężkości trójkątnego obszaru, ponieważ geometryczny środek ciężkości dzieli wysokość trójkąta w stosunku 2: 1. ${\ styl wyświetlania r_ {k}}$${\ styl wyświetlania r_ {i}}$${\ textstyle {\ frac {1} {3}} \ cdot h_ {s}}$

Poniższe dotyczy kąta${\ styl wyświetlania \ beta}$

${\ displaystyle {\ begin {wyrównany} \; \ cos {\ frac {\ beta} {2}} & = {\ frac {{\ frac {1} {3}} \ cdot h_ {s}} {r_ { k}}} = {\ frac {{\ frac {1} {3}} \ cdot \ left ({\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ po prawej) \ cdot a} {\ frac {a } {2}}} = {\ frac {{\ frac {1} {6}} \ cdot {\ sqrt {3}}} {\ frac {1} {2}}} = {\ frac {1} { \ sqrt {3}}} \; \ Rightarrow \\\ cos \ beta & = \ cos \ left (\ arccos \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3}}} \ right) \ cdot 2 \ po prawej) = - {\ frac {1} {3}} \ Rightarrow \\\ beta & = \ arccos \ left (- {\ frac {1} {3}} \ po prawej) \ ok 109 ^ {\ circ} \ ;28 ^ {\ prime} \;16 ^ {\ prime \ prime}.\;\ End {wyrównany}}}$

Kąt między krawędzią a twarzą

Ten kąt, oznaczony przez , ma swój wierzchołek w jednym z narożników ośmiościanu. Kąt można określić za pomocą następującego trójkąta prostokątnego. ${\ styl wyświetlania \ gamma}$${\ styl wyświetlania \ gamma}$

Długości boków tego trójkąta to (patrz rysunek we wzorach ): krawędź ostrosłupa jako przeciwprostokątna, wysokość ostrosłupa jako duża katetka i połowa przekątnej kwadratu o długości boku/krawędzi jako mała katetka. ${\ styl wyświetlania a}$${\ displaystyle h_ {p}}$${\ styl wyświetlania a}$${\ displaystyle {\ tfrac {d} {2}} = {\ tfrac {a} {\ sqrt {2}}}}$

Poniższe dotyczy kąta${\ styl wyświetlania \ gamma}$

${\ displaystyle {\ begin {wyrównany} \; \ cos \ gamma & = {\ frac {h_ {p}} {\ frac {d} {2}}} = {\ frac {\ frac {a} {\ sqrt {2}}} {\ frac {a} {\ sqrt {2}}}} = 1 \\\ gamma & = \ arccos \ left (1 \ right) = 45 ^ {\ circ} \; \ End { wyrównane}}}$

Kąt krawędzi 3D

Kąt ten, oznaczony (patrz rysunek we wzorach ), ma swój wierzchołek w jednym rogu ośmiościanu i odpowiada podwójnemu kątowi d. H. wewnętrzny kąt jest kwadratowy . ${\ styl wyświetlania \ delta}$${\ styl wyświetlania \ gamma,}$

Dotyczy to kąta krawędzi 3D ośmiościanu

${\ styl wyświetlania \ delta = 90 ^ {\ ok.}.}$

Pełne kąty w rogach

Poniższy wzór, opisany w Bryłach platońskich , pokazuje rozwiązanie dla kąta bryłowego${\ styl wyświetlania \ Omega}$

${\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi -2n \ cdot \ arcsin \ po lewej (\ cos \ po lewej ({\ frac {\ pi} {n}} \ po prawej) \ cdot {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ po lewej ({\ frac {\ pi} {n}} \ po prawej) - \ tan ^ {2} \ po lewej ({\ frac {\ alfa} {2}} \ po prawej)}} \ po prawej)}$

W przypadku liczby krawędzi/powierzchni w narożniku i kąta wewnętrznego trójkąta równobocznego obowiązują następujące zasady ${\ styl wyświetlania {n = 4}}$${\ displaystyle {a = 60 ^ {\ circ}}}$

${\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathsf {(1)}} \; \ Omega & = 2 \ pi -2 \ cdot 4 \ cdot \ arcsin \ lewo (\ cos \ lewo ({\ frac {\ pi } {4}} \ po prawej) \ cdot {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ po lewej ({\ frac {\ pi} {4}} \ po prawej) - \ tan ^ {2} \ po lewej ({\ frac {60 ^ {\ circ}} {2}} \ right)}} \ right) \ Rightarrow \\ & = 2 \ pi -8 \ cdot \ arcsin \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3} }} \ prawo) \ około 1 {,} 359347638 \; \ mathrm {sr} \\\ koniec {wyrównany}}}$

z tego powodu${\ displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {wyrównany} {\ mathsf {(2)}} \; \ cos (\ arcsin x) & = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3} }} \ prawo) ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {6}} {3}} \ Rightarrow \\\ end {aligned}}}$

stosuje się i formuje ${\ styl wyświetlania {\ matematyka {(2)}}}$${\ styl wyświetlania {\ matematyka {(1)}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathsf {(3)}} \; \ Omega & = 2 \ pi -8 \ cdot \ arccos \ left ({\ frac {\ sqrt {6}} {3}} \ prawo) \ około 1 {,} 359347638 \; \ mathrm {sr} \; \ end {wyrównany}}}$

uproszczenie

${\ displaystyle {\ begin {wyrównany} {\ mathsf {(4)}} \; \ cos \ Omega & = \ cos \ lewy (2 \ pi -8 \ cdot \ arccos \ lewy ({\ frac {\ sqrt { 6}} {3}} \ w prawo) \ w prawo) = {\ frac {17} {81}} \ Strzałka w prawo \\\ koniec {wyrównany}}}$

${\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathsf {(5)}} \; \ Omega & = \ arccos \ po lewej ({\ frac {17} {81}} \ po prawej) \ około 1 {,} 359347638 \ ; \ mathrm {sr}. \; \ end {wyrównany}}}$

Definicja jako zbiór punktów

Ośmiościanu może być określony jako zbiór z punktów w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , przy czym suma tych wartości bezwzględnych 3 współrzędne w układzie współrzędnych kartezjańskich jest co najwyżej tak duży jak promień tej dziedzinie . Formalnie kwotę tę można zapisać jako ${\ displaystyle r_ {u} = {\ tfrac {a} {\ sqrt {2}}}}$

${\ displaystyle \ lewy \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ środkowy \ lewy \ | x \ prawy \ | _ {1} \ leq r_ {u} \ prawy \} = \ lewy \ {( x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ mid \ left \ vert x_ {1} \ right \ vert + \ left \ vert x_ {2} \ right \ vert + \ left \ vert x_ {3 } \ prawo \ vert \ leq r_ {u} \ prawo \}}$

Tutaj normą suma kwoty lub 1-normą wektora . Dla wnętrza ośmiościanu i dla powierzchni . Zgodnie z tą definicją punkt środkowy ośmiościanu początku współrzędnych oraz jego narożniki , , , , , leżą na 3 osiach kartezjańskiego układu współrzędnych . ${\ styl wyświetlania \ lewy \ | x \ prawy \ | _ {1}}$ ${\ styl wyświetlania x}$${\ styl wyświetlania \ lewy \ | x \ prawy \ | _ {1} <r_ {u}}$${\ styl wyświetlania \ lewy \ | x \ prawy \ | _ {1} = r_ {u}}$ ${\ styl wyświetlania (r_ {u}, 0,0)}$${\ styl wyświetlania (-r_ {u}, 0,0)}$${\ styl wyświetlania (0, r_ {u}, 0)}$${\ styl wyświetlania (0, -r_ {u}, 0)}$${\ styl wyświetlania (0,0, r_ {u})}$${\ styl wyświetlania (0,0, -r_ {u})}$

Mówiąc bardziej ogólnie, ośmiościan, który ma dowolne położenie w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, można zdefiniować za pomocą wektorów . Jest wektor pozycji w środku i są , , prostopadłe wektory kierunku łączącym środek ośmiokąta z 3 narożach, a więc prostopadłym układzie w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej , a następnie z liści ilości z punktów ośmiościanu określonej jako ilość z wektorów${\ displaystyle {\ vec {m}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {w}}}$ ${\ styl wyświetlania \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ vec {m}} + t_ {1} \ cdot {\ vec {u}} + t_ {2} \ cdot {\ vec {v}} + t_ {3} \ cdot { \ vec {w}} \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid \ left \ | t \ right \ | _ {1} \ leq r_ {u} \ right \} = \ left \ {{\ vec {m}} + t_ {1} \ cdot {\ vec {u}} + t_ {2} \ cdot {\ vec {v}} + t_ {3} \ cdot {\ vec {w}} \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid \ left \ vert t_ {1} \ right \ vert + \ left \ vert t_ {2} \ right \ vert + \ left \ vert t_ {3} \ right \ vert \ leq r_ {masz rację \}}$

uogólnienie

Analogi z ośmiokąta w dowolnym wymiarze nazywane są wymiarowej krzyżowych polytopes i są również regularne polytopes . Wymiarową przekroju Polytope ma naroża i jest ograniczony przez wymiarową sympleksów (jak ścianek ). Czterowymiarowy przekroju Polytope ma 8 naroży, krawędzi 24 o jednakowej długości, 32 równobocznych trójkątów jak powierzchnie boczne i 16 tetraedrów jako aspektach. Jednowymiarowy przekroju Polytope jest segmentem The dwuwymiarowym przekroju Polytope jest kwadratowy , a trójwymiarowy przekrój Polytope jest ośmiościan. ${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania 2 \ cdot n}$${\ styl wyświetlania 2 ^ {n}}$ ${\ styl wyświetlania n-1}$

Modelem dla wielowymiarowego wielowymiaru jest sfera jednostkowa w odniesieniu do normy sumarycznej${\ styl wyświetlania n}$

${\ displaystyle \ lewy \ | x \ prawy \ | _ {1} = \ lewy \ vert x_ {1} \ prawy \ vert + \ cdots + \ lewy \ vert x_ {n} \ prawy \ vert}$ Dla ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

w przestrzeni wektorowej . (Zamknięty) krzyżowy politop jest zatem ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• ilość

${\ displaystyle \ lewo \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ środek \ lewy \ | x \ prawy \ | _ {1} \ leq 1 \ prawy \} = \ lewy \ {(x_ {1 }, \ dots, x_ {n}) \ mid \ left \ vert x_ {1} \ right \ vert + \ cdots + \ left \ vert x_ {n} \ right \ vert \ leq 1 \ right \}}$.

• wypukły Kadłub wierzchołków , gdzie znajdują się wektor jednostkowy .${\ styl wyświetlania 2 \ cdot n}$${\ displaystyle \ pm e_ {i}}$${\ displaystyle e_ {i}}$
• przecięcie w pół-przestrzeni podzielona przez hiperplaszczyzn od kształtu${\ styl wyświetlania 2 ^ {n}}$

${\ styl wyświetlania \ pm x_ {1} \ pm \ cdots \ pm x_ {n} = 1}$

można określić i zawierać pochodzenie.

Objętość tej wymiarowej przekroju Polytope jest , gdzie promień tej kuli jest wokół pochodzenia tych współrzędnych w stosunku do normy sumy. Związek można udowodnić za pomocą rekurencji i twierdzenia Fubiniego .${\ styl wyświetlania n}$${\ displaystyle {\ tfrac {(2 \ cdot r) ^ {n}} {n!}}}$${\ styl wyświetlania r> 0}$

Sieci ośmiościanu

Oktaed ma jedenaście sieci . Oznacza to, że istnieje jedenaście sposobów na rozłożenie pustego ośmiościanu poprzez rozcięcie 5 krawędzi i rozłożenie go w płaszczyźnie . Pozostałe 7 krawędzi łączy 8 równobocznych trójkątów siatki. Aby pokolorować ośmiościan tak, aby żadne sąsiednie ściany nie były tego samego koloru, potrzebujesz co najmniej 2 kolorów.

Sieć ośmiokąta

Animacja sieci ośmiościanu

Wykresy, wykresy dualne, cykle, kolory

Kolorystykę ilustruje
ośmiościan wpisany w podwójny sześcian

Oktaed ma nieskierowany graf planarny z przypisanymi mu 6 węzłami , 12 krawędziami i 8 regionami , który jest 4- regularny , tj. 4 krawędzie zaczynają się od każdego węzła, tak że stopień wynosi 4 dla wszystkich węzłów. W przypadku grafów planarnych dokładny układ geometryczny węzłów jest nieistotny. Ważne jest jednak, aby krawędzie nie musiały się przecinać. Węzły tego grafu oktaedrycznego odpowiadają rogom sześcianu.

Te węzły w oktaedrycznej wykresie można barwić 3 kolorach tak, że zawsze sąsiednie węzły są różnie zabarwione. Oznacza to, że liczba chromatyczna tego wykresu wynosi 3. Dodatkowo krawędzie można pokolorować 4 kolorami, dzięki czemu sąsiednie krawędzie są zawsze różnie zabarwione. Nie jest to możliwe przy 3 kolorach, więc wskaźnik chromatyczny dla kolorowania krawędzi wynosi 4 (zdjęcie po prawej ilustruje te kolorowania).

Wykres dualny ( wykres sześcienny) z 8 węzłami , 12 krawędziami i 6 obszarami jest pomocny w określeniu wymaganej liczby kolorów dla powierzchni lub obszarów . Węzły tego grafu są przypisane jeden do jednego (bijective) do obszarów grafu oktaedrycznego i odwrotnie (patrz funkcja bijective i rysunek powyżej). Węzły grafu sześciennego mogą być pokolorowane 2 kolorami, tak aby sąsiednie węzły były zawsze różnie pokolorowane, tak aby liczba chromatyczna grafu sześciennego była równa 2. Z tego można pośrednio wywnioskować: Ponieważ liczba chromatyczna jest równa 2, do takiego pokolorowania powierzchni ośmiościanu lub pokolorowania obszarów grafu ośmiościanu potrzebne są 2 kolory.

Kolorowanie węzłów grafu oktaedrycznego

Kolorowanie krawędzi grafu oktaedrycznego

Obszar farbowanie wykresie oktaedrycznej z podwójnym węzłem barwienia wykresu sześcianu

5 odciętych krawędzi każdej sieci (patrz wyżej) wraz z narożnikami ( węzłami ) tworzą drzewo opinające grafu ośmiościanu. Każda sieć odpowiada dokładnie drzewu opinającemu i na odwrót, tak więc istnieje przypisanie jeden do jednego ( bijective ) między sieciami i drzewami opinającymi. Jeśli weźmiesz pod uwagę sieć ośmiościanu bez obszaru zewnętrznego jako graf, otrzymasz graf dualny z drzewem z 8 węzłami i 7 krawędziami oraz maksymalnym stopniem węzła 3. Każdy obszar ośmiościanu jest przypisany do węzła drzewo. Nie każda konstelacja grafoteoretyczna (patrz izomorfizm grafów ) takich drzew występuje, ale niektóre występują więcej niż raz .

Wykres oktaedryczny ma 32 okręgi Hamiltona i 1488 okręgów Eulera .

Wykres oktaedryczny z jednym z 32 okręgów Hamiltona

Wypełnienia pomieszczeń oktaedrami

Trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej może być całkowicie wypełniona z Platońskich stałych lub Archimedesa części stałych w tej samej długości krawędzi. Takie trójwymiarowe płytki jest nazywany napełniania pokoju . Następujące wypełnienia przestrzeni zawierają oktaedry:

• 

  Wypełnienie pokoju ośmiościanem i czworościanem

• 

  Wypełnienie pokój z sześcio-ośmiościan i ośmiościanu

• 

  Wypełnienie pokój z obcinane pręt sześciokątny i ośmiościan

Czworościan Sierpińskiego

Czworościanu Sierpińskiego . Liczba częściowych czworościanów czterokrotnie z każdego etapu iteracji The objętość zbliża 0, obszar na powierzchni resztki stałej .
Wycięte wnęki ( wielościany ) są ośmiościanami o różnej długości boków.

Oktaed jest pośrednio związany z czworościanem Sierpińskiego . Czworościan Sierpińskiego jest trójwymiarowym uogólnieniem trójkąta Sierpińskiego . Początkową figurą jest czworościan . W każdym kroku iteracji ze środka wycinany jest ośmiościan o połowie długości krawędzi. Pozostały 4 czworościany, z których każdy wycięty jest ośmiościan itp.

Po etapie iteracji ewidentnie pojawiły się częściowe czworościany o tej samej długości boku. Liczba wyciętych oktaedrów o różnych długościach boków wynosi . ${\ styl wyświetlania k}$${\ styl wyświetlania 4 ^ {k}}$${\ displaystyle {\ frac {4 ^ {k} -1} {3}}}$

Wymiar tej konstrukcji jest , chociaż jest to postać trójwymiarowej przestrzeni. Wraz ze wzrostem liczby kroków iteracji objętość figury dąży do zera, ale powierzchnia powierzchni pozostaje stała, ponieważ liczba powierzchni bocznych przystających częściowych czworościanów jest czterokrotnie większa z każdym krokiem iteracji, podczas gdy długość tych powierzchni bocznych , które są przystającymi trójkątami, są o połowę mniejsze. ${\ displaystyle D = {\ frac {\ log (4)} {\ log (2)}} = 2}$

Aplikacje

Oktaedryczne kryształy ałunu

W chemii przewidywanie geometrii molekularnej zgodnie z modelem VSEPR może skutkować cząsteczkami oktaedrycznymi . Oktaedron pojawia się również w strukturach krystalicznych , takich jak skoncentrowana twarzowo sześcienna struktura chlorku sodu (numer koordynacyjny 6), w komórce elementarnej , a także w chemii złożonej, jeśli wokół centralnego atomu znajduje się 6 ligandów .

Niektóre naturalnie występujące minerały , m.in. B. ałun , krystalizują w formie oktaedrycznej.

W grach fabularnych używa się ośmiościennych kości do gry i określa się je mianem „K8”, tj. kości z 8 ścianami.

Zobacz też

• Liczby oktaedryczne
• Diederwinkel
• wielościan
• Bryła platońska

linki internetowe

Wikisłownik: ośmiościan  - objaśnienia znaczeń, pochodzenie słów, synonimy, tłumaczenia

• Euklides: Stoicheia. Księga XIII.14. Oktaedron kuli ...
• Ośmiościan . - Majsterkowanie matematyczne

Indywidualne dowody

1. ^ Wilhelm Pape , Max Sengebusch (układ): Zwięzły słownik języka greckiego . Wydanie III, nakład VI. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 ( zeno.org [dostęp 12 marca 2020]). 
2. ↑ Eric Weisstein: Zwykły ośmiościan. Wzór promienia Umkugela (12). W: MathWorld Wolfram. Zasób sieciowy Wolfram, udostępniony 27 czerwca 2020 r . 
3. ↑ Harish Chandra Rajpoot: Kąty bryłowe podparte przez bryły platoniczne (zwykłe wielościany) w ich wierzchołkach. SlideShare, marzec 2015, dostęp 27 czerwca 2020 . 
4. ↑ Alternatywne wyrażenie dla . ${\ Displaystyle \ cos \ Omega}$WolramAlpha, dostęp 27 czerwca 2020 r . 
5. ↑ Susumu Onaka, Department of Materials Science and Engineering, Tokyo Institute of Technology: Proste równania dające kształty różnych wielościanów wypukłych: wielościanów foremnych i wielościanów złożonych z płaszczyzny o niskim indeksie krystalograficznym
6. ^ Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, Günter M. Ziegler, Technische Universität Berlin: Podstawowe właściwości politopów wypukłych
7. ↑ Eric Weisstein: Zwykły ośmiościan. Sieci. W: MathWorld Wolfram. Zasób sieciowy Wolfram, udostępniony 27 czerwca 2020 r . 
8. ↑ Mike Zabrocki: HOMEWORK # 3 SOLUTIONS - MATH 3260. (PDF) York University, Mathematics and Statistics, Toronto, 2003, s. 3 , dostęp 31 maja 2020 r . 
9. ↑ Eric Weisstein: Wykres ośmiościenny. W: MathWorld Wolfram. Zasób sieciowy Wolfram, udostępniony 27 czerwca 2020 r . 
10. ^ Wolfram MathWorld: Tetrix
11. ↑ Gayla Chandler, Hideki Tsuiki: Fotografie: Sierpinski Tetrahedron i jego uzupełnienie