Reductio ad absurdum

Reductio ad nie wprost (od łacińskiego na identyfikację do ujemnego brzmiące niespójności niewłaściwe, bezcelowe ) jest ostateczna postać i techniki dowód w logice . W reductio ad absurdum, o stwierdzenie jest potwierdzona poprzez wykazanie, że logiczną sprzeczność lub sprzeczność do już uznanych tezy wynika z niego.

Jako technika dowodowa reductio ad absurdum jest określane jako „ dowód pośredni ” lub „ dowód sprzeczności ”, „ dowód przez zaprzeczenie ”. Ten pośredni dowód charakteryzuje się tym, że nie wyprowadza się twierdzenia do bezpośredniego udowodnienia, ale obala się jego kontradyktoryjne przeciwieństwo (tj. Założenie, że twierdzenie jest błędne). W klasycznej logice dwuwartościowej , w której każde stwierdzenie jest albo prawdziwe, albo fałszywe, to obalenie przeciwieństwa twierdzenia pokazuje, że dane stwierdzenie jest poprawne.

Intuicyjne wyjaśnienie i uzasadnienie

Prosty przykład: aby pokazać, że nie wszyscy są Grekami, najpierw zakłada się, że wszyscy są Grekami. Z tego założenia wynika na przykład, że Cyceron był Grekiem. Wiadomo jednak, że Cyceron nie był Grekiem (ale Rzymianinem). Fakt, że Cyceron był jednocześnie Grekiem i nie Grekiem, jest sprzecznością . W ten sposób stwierdzenie, że wszyscy ludzie są Grekami, zostało zredukowane do sprzeczności (reductio ad absurdum) i tym samym pokazało, że nie wszyscy są Grekami.

Mniej prostym przykładem reductio ad absurdum - i być może oprócz dowodu nieracjonalności pierwiastka kwadratowego z 2 u Euklidesa, najlepszym tego przykładem - jest dowód twierdzenia Euklidesa , który pokazuje, że nie ma największej liczby pierwszej dać can (że dla każdej liczby pierwszej jest większa), obalając założenie, że istnieje największa. Dowody sprzeczności były często używane przez Euklidesa i można je już znaleźć w dowodzie twierdzenia Dinostratosa , przekazanym przez Papposa .

Dowód pośredni można intuicyjnie uzasadnić w następujący sposób: Jeśli z założenia można wyprowadzić sprzeczność, obowiązuje następująca zasada: Jeśli założenie jest prawdziwe , sprzeczność jest również prawdziwa. Ale sprzeczność nigdy nie może być prawdziwa. Dlatego założenie nie może być prawdziwe, więc musi być fałszywe.

Formalna reprezentacja

Formalnie dowód sprzeczności można przedstawić w następujący sposób:

Dotyczy a , a następnie: . ${\ Displaystyle \ Gamma \ kubek \ {\ mathrm {A} \} \ vdash \ mathrm {B}}$${\ Displaystyle \ Gamma \ kubek \ {\ mathrm {A} \} \ vdash \ neg \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ Gamma \ vdash \ neg \ mathrm {A}}$

Przeczytaj: Jeśli prawdą jest, że ze zbioru zdań wraz ze stwierdzeniem zarówno stwierdzenie, jak i stwierdzenie nie wynikają, to wynika to z nie- . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ mathrm {A}}$${\ displaystyle \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ mathrm {A}}$

To połączenie jest również znane jako wprowadzenie negacji do rachunku naturalnego wnioskowania .

Klasyczny i intuicjonistyczny dowód sprzeczności

Istnieje druga forma reductio ad absurdum, która jest ważna w konflikcie między logiką klasyczną i intuicjonistyczną :

Dotyczy a , a następnie: . ${\ Displaystyle \ Gamma \ puchar \ {\ neg \ mathrm {A} \} \ vdash \ mathrm {B}}$${\ Displaystyle \ Gamma \ puchar \ {\ neg \ mathrm {A} \} \ vdash \ neg \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ Gamma \ vdash \ mathrm {A}}$

Przeczytaj: Jeśli prawdą jest, że ze zbioru zdań wraz ze stwierdzeniem nie wynika - zarówno ze stwierdzenia, jak i ze stwierdzenia nie - to wynika z . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ mathrm {A}}$${\ displaystyle \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$

Różnica między tymi dwiema formami polega na tym, że w pierwszej wywnioskowanej ze stwierdzenia i sprzeczności o zaprzeczeniu wypowiedzi, podczas gdy w drugiej z zaprzeczenia i sprzeczności o samym stwierdzeniu. Drugą formę można sprowadzić do krótkiej formuły: twierdzenie uważa się za udowodnione, jeśli sprzeczność można wyprowadzić z jego zaprzeczenia.

Pierwszą formę można przekształcić w drugą za pomocą klasycznej eliminacji negacji :

Dotyczy , więc stosuje się również: . ${\ Displaystyle \ Gamma \ vdash \ neg \ neg \ mathrm {A}}$${\ displaystyle \ Gamma \ vdash \ mathrm {A}}$

Ponieważ to prawo jest ważne tylko klasycznie, a nie intuicyjnie, druga forma nie jest również ogólnie ważna z intuicyjnego punktu widzenia.

Opcjonalnie drugi formularz można również wyprowadzić z pierwszego z zdaniem wykluczonej osoby trzeciej . Ale to twierdzenie również nie jest słuszne z intuicyjnego punktu widzenia.

Odrzucenia drugiej postaci dowodu sprzeczności ma ten skutek, że w intuicjonisty matematyki istnienie określonych obiektów matematycznych klasycznych nie jest rozpoznawany (patrz konstruktywizm ).

przykład

Dość dobrze znanym przykładem dowodu pośredniego w matematyce jest dowód, że liczba nie jest liczbą wymierną, ponieważ stwierdzenie prowadzi do arbitralności i sprzeczności. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ tfrac {p} {q}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

linki internetowe

• Nicholas Rescher :  Entry in J. Fieser, B. Dowden (red.): Internet Encyclopedia of Philosophy .

Indywidualne dowody

1. ^ Ivor Bulmer-Thomas, artykuł Dinostratus , Słownik biografii naukowej , tom 4, str.104