System dodawania

System dodawania to system liczbowy, w którym wartość liczby jest obliczana przez dodanie wartości jej cyfr . Z drugiej strony, pozycja cyfr odgrywa również rolę w systemie wartości miejsca .

Prostym przykładem systemu dodawania jest zestawienie , system jednoargumentowy : jest tylko jedna cyfra, na przykład pionowa kreska „|”. Liczba jest reprezentowana jako sekwencja słupków, gdzie wartość liczby odpowiada liczbie słupków. Na przykład liczba dziesiętna 3 jest używana w tym systemie jako ||| pisemny. Jednak taka notacja szybko staje się myląca dla dużych liczb, przez co pojawia się potrzeba wprowadzenia dodatkowych cyfr.

Przez lata opracowywano różne czcionki liczb addytywnych . Cyfry rzymskie używane do dziś mają siedem cyfr: I, V, X, L, C, D i M. Odpowiadają one wartościom 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000. Z wyjątkiem zapisu odejmowania, gra Kolejność cyfr w liczbie rzymskiej nie ma znaczenia dla wartości liczby, chociaż często porządkuje się cyfry w porządku malejącym od lewej do prawej. Zasadniczo jednak trzy liczby XII, IXI, IIX są równoważne i odpowiadają dziesiętnemu 12 (2 * 1 + 10).

Ponadto w systemach dodawanie liczb jest dość łatwe, ponieważ cyfry sumy są po prostu łączone, aby utworzyć nową liczbę. Jeśli to konieczne, grupy cyfr są następnie łączone w bardziej znaczące cyfry. Nie ma potrzeby pamiętania przeniesień, jak jest to konieczne w przypadku systemów wartości. Wadą systemów dodawania jest to, że mnożenie, ułamki i ogólnie wyższa matematyka są trudne do wykonania. W szczególności reprezentacja bardzo dużych liczb z koniecznie skończoną liczbą cyfr jest trudna. Ponieważ jeśli W jest największą wartością cyfrową, potrzebujesz co najmniej cyfr Z / W, aby reprezentować bardzo dużą liczbę Z. Zależność między długością a wartością jest ( asymptotycznie ) liniowa - w przeciwieństwie do systemów wartości miejscowych, w których jest logarytmiczna .

Opracowane systemy dodatków

Różne cyfry dla każdej potęgi bazy

Taki system liczbowy był już używany około 5000 lat temu w starożytnym Egipcie z cyframi hieroglificznymi . Zasada tego systemu ustala liczbę dla każdej potęgi bazy, np. Np .: E = 1, Z = 10, H = 100 i T = 1000.

Poszczególne miejsca były przeważnie zaaranżowane graficznie; w poniższym, podstawowym przykładzie według oczu domina .

                 HHH  ZZZ    E
 1982   =    T   HHH  Z Z    
                 HHH  ZZZ  E

Niemal w tym samym czasie - czyli w epoce protoelamickiej - taki system liczbowy został opracowany w Suzie , podobnie jak - od drugiego tysiąclecia pne - minojczycy na Krecie, a nieco później Hetyci . Systemy liczbowe oparte na tej zasadzie są również znane z wyższych kultur mezoamerykańskich.

Wadą tego systemu jest to, że każda cyfra składa się z analogowego powtórzenia tego samego znaku, dlatego w połowie trzeciego tysiąclecia starożytni Egipcjanie połączyli każdą cyfrę w jedną cyfrę za pomocą hieratycznego pisma ręcznego. Te liczby hieratyczne posłużyły jako model dla późniejszych liczb alfabetycznych.

Więcej niż jedna cyfra w ramach tej samej potęgi bazy

Używanie własnych znaków jako „półliczb” zapobiega zbyt częstemu powtarzaniu tego samego znaku.

Przykładem tego są cyfry rzymskie , które używają liter I, X, C i M jako symboli dla 1, 10, 100 i 1000, a także V, L i D dla 5, 50 i 500.

Cyfry są zapisywane i dodawane ze zmniejszającą się wartością. Na przykład 1776 jest reprezentowane jako MDCC.LXXVI. Aby liczby były nieco krótsze, system został później zmodyfikowany tak, aby każda cyfra mogła pojawić się maksymalnie trzy razy z rzędu. Jeśli przed większą liczbą znajduje się mniejsza liczba, pierwsza jest odejmowana od drugiej. Więc VIIII stał się IX. Ta zasada odejmowania w systemie dodawania nie zawsze jest brana do serca.

W Europie Zachodniej rzymski system liczbowy był szeroko stosowany do XV wieku.

Oddzielna cyfra dla każdej krotności w ramach potęgi podstawy

Liczby hieratyczne (patrz wyżej), podobnie jak system dziesiętny, były już zgodne z zasadą różnych cyfr w celu zidentyfikowania każdej częstotliwości występowania (krotności) (wykorzystanej) mocy podstawy. Jednak każda potęga bazy nadal miała swoje własne (dziewięć) cyfr dla swoich możliwych wielokrotności, które różnią się od cyfr pozostałych potęg. Liczby dotyczące częstotliwości niewykorzystanych potęg bazy - czyli jedno lub więcej zer - jeszcze nie istnieją. W sumie było 36 (4 × 9) symboli hieratycznych dla liczb od 1 do 9999.

W połowie IV wieku pne starożytni Grecy stworzyli tak zwane liczby alfabetyczne na podstawie tych liczb hieratycznych, zastępując pierwsze cyfry hieratyczne 3 × 9 literami swojego alfabetu. Przy hybrydowym użyciu numerów telefonów można wyświetlać również duże liczby.

Z wyjątkiem zachodnich obszarów rzymskich, gdzie zawsze używano cyfr rzymskich, ten postępowy system - w swoich adaptacjach do odpowiednich alfabetów - zdominował naukę i administrację Persji , Armenii , Gruzji , Arabii , Etiopii , Cesarstwa Bizantyjskiego i starożytna Rosja . Dopiero cyfry indyjskie stopniowo zastępowały system po czterech tysiącach lat dominacji. W regionie arabskim już pod koniec pierwszego tysiąclecia, inaczej dopiero w połowie drugiego tysiąclecia.

Indywidualne dowody

1. ↑ Starożytne egipskie cyfry hieratyczne ( Pamiątka z 2 marca 2016 w Internet Archive ) (grafika)