Premia za ryzyko

Premia za ryzyko (RP, angielski premia za ryzyko , w zależności od znaku zwanego również zniżki ryzyko lub premia za ryzyko ) jest ogólnie w gospodarce rekompensata dla finansowego ryzyka przyjętego przez ryzykiem przyjmującego .

Generał

Konkretnie rzecz ujmując, premia za ryzyko jest równoznaczne zawarte w zysku dla ogółu przedsiębiorców ryzyka w rachunku kosztów . Szczególnie jeśli chodzi o inwestycje kapitałowe , inwestorzy niechętni do ryzyka muszą wbudować premię za ryzyko w swoje oczekiwania dotyczące realnej stopy procentowej, jeśli istnieje niepewność co do rozwoju inflacji . Na przykład oczekiwany zwrot równowagi z akcji składa się ze stopy bazowej wolnej od ryzyka i premii za ryzyko. W teorii handlu zagranicznego premia za ryzyko jest różnicą między oczekiwanym zwrotem z inwestycji w walucie obcej a zwrotem z porównywalnej inwestycji w walucie krajowej. Z aktuarialnego punktu widzenia składka za ryzyko jest najważniejszym przypisanym umownie składnikiem składki ubezpieczeniowej (składka brutto), który jest ustalany przez ubezpieczyciela wyłącznie w celu przejęcia ryzyka .

Matematyka finansowa i teoria decyzji

W matematyce finansowej i teorii decyzji premia za ryzyko jest różnicą między oczekiwaną wartością niepewnego składnika aktywów , np. B. papiery wartościowe ( los na loterię , udział , obligacja , konto oszczędnościowe ) oraz indywidualny ekwiwalent zabezpieczenia ( angielski ekwiwalent pewności ) tego aktywa, czyli te zabezpieczające wypłatę CE , z. B. natychmiastowo i w gotówce, która subiektywnie obiecuje osobie zainteresowanej taką samą korzyść (a zatem jest warta tyle samo), co niepewne bogactwo : ${\ Displaystyle E (w)}$ ${\ displaystyle CE}$ ${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle RP = \ nazwa operatora {E} (w) -CE \.}$

E (w)> CE

E (w) = CE

E (w) <CE

Decydującym czynnikiem dla wysokości i znaku premii za ryzyko RP jest zatem przede wszystkim stosunek między matematyczną wartością oczekiwaną E (W) , która jest zawsze taka sama dla jednego i tego samego składnika aktywów w, a indywidualnym ekwiwalentem zabezpieczenia CE odpowiedniego uczestnika rynku:

• Jeśli E (w)> CE , premia za ryzyko RP staje się dodatnia, tj. Osoba zainteresowana jest gotowa zapłacić premię za nią tym, którzy zwalniają ją z ryzyka niepewnego majątku (a tym samym ryzyka możliwej rzeczywistej utraty majątku). Najbardziej znanym przykładem takich transakcji są umowy ubezpieczeniowe, dla których składka za ryzyko RP nazywana jest również składką ubezpieczeniową .
  Uczestnicy rynku, których ekwiwalent zabezpieczenia CE jest zwykle mniejszy niż oczekiwana wartość E (w) ich niepewnych aktywów, nazywani są awersją do ryzyka lub awersją do ryzyka . Decydującym czynnikiem przy podejmowaniu decyzji niechętnych do podejmowania ryzyka jest większa waga możliwych strat aktywów w porównaniu z możliwymi zyskami z aktywów.
• Jeśli E (w) = CE , premia za ryzyko RP wynosi zero, tj. H. dana osoba nie jest skłonna zapłacić komuś innemu premii za przejęcie własnego ryzyka finansowego ani, przeciwnie, kupić czyjegoś ryzyka finansowego.
  Uczestnicy rynku, których ekwiwalent bezpieczeństwa CE zwykle pokrywa się z wartością oczekiwaną E (w) ich niepewnych aktywów, nazywani są neutralnymi pod względem ryzyka . Równa waga możliwych strat i zysków aktywów ma decydujące znaczenie dla decyzji neutralnych pod względem ryzyka.
• Jeżeli E (w) <CE , premia za ryzyko RP staje się ujemna, tj. H. i odwrotnie, osoba zainteresowana jest teraz gotowa zapłacić za to premię tym, którzy rezygnują z ryzyka związanego z niepewnym bogactwem (a tym samym perspektywą możliwego realnego zysku). Najbardziej znanym przykładem takich transakcji są praktycznie wszystkie rzeczywiste, tj. H. Z matematycznego punktu widzenia zawsze są to „nieuczciwe” loterie, których cena kuponu regularnie utrzymuje się powyżej ich oczekiwanej wartości E (L) .
  Uczestnicy rynku, których ekwiwalent zabezpieczenia CE jest zwykle większy niż oczekiwana wartość E (w) ich niepewnych aktywów, nazywani są skłonnymi do ryzyka lub skłonnymi do ryzyka . Decydujące znaczenie dla decyzji związanych z ryzykiem ma wyższa waga możliwych zysków z aktywów w porównaniu z możliwymi stratami aktywów.

Opis formalny

Funkcja użyteczności (po lewej) i odwrotna funkcja użyteczności (po prawej) uczestnika rynku z awersją do ryzyka (awersją do ryzyka)

CE - ekwiwalent bezpieczeństwa ; E (U (W)) - oczekiwana wartość użyteczności (oczekiwana użyteczność) niepewnych aktywów; E (W) - oczekiwana wartość niepewnych aktywów; U (CE) - użyteczność ekwiwalentu bezpieczeństwa; U (E (W)) - użyteczność oczekiwanej wartości niepewnego aktywa; W ₀ - minimalne bogactwo; U (W ₀ ) - użyteczność minimalnego bogactwa; W ₁ - maksymalne bogactwo; U (W ₁ ) - użyteczność maksymalnego bogactwa; U ₀ - minimalna użyteczność; W ₀ - aktywa wymagane do osiągnięcia minimalnej użyteczności; U ₁ - maksymalna korzyść; W ₁ - aktywa niezbędne do osiągnięcia maksymalnych korzyści; RP - premia za ryzyko

Podano rzeczywistą, mierzalną i odwracalną funkcję użyteczności u (w) wraz z jej odwrotnością w (u) i niepewną pojemnością x , składającą się z pewnej pojemności początkowej i zmiennej losowej o wartości oczekiwanej E (X) = 0 . W takim przypadku do oczekiwanej wartości niepewnego składnika aktywów stosuje się, co następuje : ${\ displaystyle {\ bar {x}} \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle X: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x = {\ bar {x}} + X}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (x) = \ operatorname {E} ({\ bar {x}} + X) = {\ bar {x}}.}$

Czy to równanie

${\ displaystyle u ({\ bar {x}} - RP) = \ operatorname {E} (u (x)) = \ operatorname {E} (u ({\ bar {x}} + X))}$

Zdefiniowana w ten sposób liczba rzeczywista nazywana jest premią za ryzyko (lub ekwiwalentem zabezpieczenia zmiennej losowej X ) dla danego aktywa początkowego . ${\ displaystyle RP ({\ bar {x}}, X)}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$

Czy funkcja użyteczności u (w) jest odwracalna w razie potrzeby, np. B. rosnąc ściśle monotonicznie, premię za ryzyko można obliczyć za pomocą odwrotnej funkcji użyteczności u (w) w następujący sposób: ${\ displaystyle RP ({\ bar {x}}, X)}$

${\ displaystyle RP ({\ bar {x}}, X) = \ operatorname {E} (x) -w (\ operatorname {E} (u (x)))}$

interpretacja

• Dodatnia premia za ryzyko to dyskonto, które osoba niechętna podejmowaniu decyzji (z wklęsłą funkcją użyteczności, która go dotyczy) jest skłonna zaakceptować, aby uniknąć ryzyka zmiennej losowej X o stałej średniej stopie zwrotu .${\ displaystyle RP ({\ bar {x}}, X)}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$
• Ujemna premia za ryzyko to narzut, który świadomego ryzyka decydenta (posiadającego wypukłą funkcję użyteczności, która go dotyczy) jest skłonny zapłacić, aby móc podjąć dodatkowe ryzyko zmiennej losowej X o stałym średnim dochodzie .${\ Displaystyle -RP ({\ bar {x}}, X)}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$

Premia za ryzyko i miara Arrow-Pratta bezwzględnej awersji do ryzyka

Jak wykazał John W. Pratt w 1964 r., Dyskonto z tytułu ryzyka (wymagana minimalna premia za ryzyko) dla małych wartości wariancji i wartości oczekiwanej dla dowolnej stale różnej funkcji użyteczności można przybliżyć w następujący sposób: ${\ displaystyle \ operatorname {Var} (X)}$${\ Displaystyle E (X ^ {3})}$

${\ Displaystyle RP ({\ bar {x}}, X) \ około {\ Frac {ARA ({\ bar {x}})} {2}} \ cdot \ operatorname {Var} (X)}$

Przykłady

Moneta jest rzucana i, w zależności od wyniku rzutu monetą, wypłata 1,00 € lub nic. Oczekiwana wartość E (w) wynosiłaby zatem 0,50 EUR, cena kuponu w przypadku uczciwej loterii również wynosiłaby 0,50 EUR.

• Jeśli gracz woli, aby kwota mniejsza niż 0,50 € została wypłacona w gotówce zamiast niepewnego podziału zysku, np. Na przykład sprzedaż własnego biletu komuś innemu za tak niższą kwotę nazywana jest awersją do ryzyka lub awersją do ryzyka, a premia za ryzyko tego, kto kupi bilet, jest dodatnia (statystycznie osiągnie zysk).
• Jeśli natomiast gracz odsprzeda swój los komuś innemu za dokładnie 0,50 €, czyli jest niezdecydowany (obojętny), czy powinien wziąć udział w loterii, czy też nie, nazywa się go neutralnym pod względem ryzyka, a premia za ryzyko osoby, która kupuje od niego bilet, pozostaje zero (statystycznie nie przyniesie zysku ani straty).
• Jeśli gracz ostatecznie chce sprzedać swój bilet komuś innemu tylko wtedy, gdy zapłaci mu za niego kwotę> 0,50 € na miejscu, takiego gracza nazywa się kochającym ryzyko lub kochającym ryzyko, a premia za ryzyko osoby, która kupuje od niego bilet , jest ujemne (statystycznie spowoduje stratę).

Zależność premii za ryzyko od rodzaju ryzyka

Przykład 1

Na ryzyku nieśmiały odtwarzacz z funkcją korzyści do ryzyka oraz jego odwrotnej funkcji bierze udział w loterii , w której szanse na główną nagrodę 2500 € są na poziomie 1%, podczas gdy te o nagrodę pocieszenia zaledwie 25 euro są z pozostałą 99%. ${\ displaystyle u (w) = {\ sqrt {w}}}$${\ Displaystyle w (u) = u ^ {2} \}$

Oczekiwana wartość niepewnych aktywów wi spodziewane korzyści z udziału w loterii to:

${\ displaystyle \ operatorname {e} (w) = \ operatorname {E} (L) = 0 {,} 99 \ cdot {25} +0.01 \ cdot {2500} = 49 {,} 75}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {e} (u (w)) = e (u (L)) & = 0 {,} 99 {\ sqrt {25}} + 0,01 {\ sqrt { 2500}} \\ & = 0 {,} 99 \ cdot {5} +0.01 \ cdot {50} = 5 {,} 45 \ end {aligned}}}$

Ekwiwalent bezpieczeństwa niepewnych aktywów wi premię za ryzyko loterii oblicza się dla gracza w następujący sposób:

${\ displaystyle u (CE) = \ operatorname {e} (u (w)) \ iff {\ sqrt {CE}} = 5 {,} 45}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} CE = 5 {,} 45 ^ {2} \ około {29 {,} 70}; \ RP & = E (w) -CE \\ & = 49 {,} 75-29 {,} 70 = 20 {,} 05 \ end {aligned}}}$

Gracz z niechęcią do ryzyka byłby skłonny wydać maksymalnie 29,70 euro na bilet lub odwrotnie, odsprzedać go za 29,70 euro (lub więcej), przy czym kupujący osiągnąłby średni zysk w wysokości 20,05 euro, jako średni zwrot części partii, jak pokazano, wynosi 49,75 EUR.

Przykład 2

Ryzykiem, radości gracz z funkcji użytkowych ryzyka i jego działanie odwrotne przyjąć taką samą loterii w części, w których szanse na nagrodę 2500 € ponownie przy 1% i stanowi nagrodę pocieszenia tylko 25 €, natomiast w pozostałych 99%. ${\ Displaystyle u (w) = w ^ {2} \}$${\ displaystyle w (u) = {\ sqrt {u}}}$

Oczekiwana wartość niepewnych aktywów wi spodziewane korzyści z udziału w loterii to:

${\ displaystyle \ operatorname {e} (w) = \ operatorname {E} (L) = 0 {,} 99 \ cdot {25} +0 {,} 01 \ cdot {2500} = 49 {,} 75}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {e} (u (w)) = \ operatorname {E} (u (L)) & = 0 {,} 99 \ cdot {25} ^ {2} +0 {,} 01 \ times {2500} ^ {2} \\ & = 0 {,} 99 \ times {625} +0 {,} 01 \ times {6250000} = 63118 {,} 75 \ end {aligned}} }$

Ekwiwalent bezpieczeństwa niepewnego aktywa wi premię za ryzyko oblicza się teraz dla gracza w następujący sposób:

${\ Displaystyle u (CE) = \ operatorname {e} (u (w)) \ iff {CE} ^ {2} = 63118 {,} 75}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} CE = {\ sqrt {63118 {,} 75}} \ około {251 {,} 23}; \ RP & = \ operatorname {E} (w) -CE \\ & = 49 {,} 75-251 {,} 23 = -201 {,} 48 \ end {aligned}}}$

Podejmujący ryzyko byłby skłonny wydać maksymalnie 251,23 euro na bilet lub odwrotnie, odsprzedać go za 251,23 euro (lub więcej), przy czym kupujący poniósłby średnią stratę w wysokości 201,48 euro z powodu średniego zwrotu. części partii, jak pokazano, to tylko 49,75 €.

Zależność premii za ryzyko od aktywów początkowych

Zależność premii za ryzyko od aktywów początkowych

Przypadek 1 - początkowe bogactwo w ₀ = 0 euro

Przypadek 2 - początkowe bogactwo w ₀ = 9 EUR

Pozycja oczekiwanej wartości niepewnego składnika aktywów w zastosowana we wzorze na premię za ryzyko to m.in. określona przez pojemność początkową w ₀ .

Przykład 1

Gracz z awersją do ryzyka z funkcją korzyści do ryzyka i jej funkcją odwrotną miałby tylko jeden los na loterię, na którym wypłacony zostałby zysk w wysokości 7 euro z prawdopodobieństwem p = 0,5, podczas gdy jego początkowe bogactwo w _{0 byłoby} zerowe. ${\ displaystyle u (w) = {\ sqrt {w}}}$${\ Displaystyle w (u) = u ^ {2} \}$

Oczekiwana wartość niepewnego aktywa w = w ₀ + L oraz oczekiwana korzyść z udziału w loterii to:

${\ displaystyle \ operatorname {e} (w) = \ operatorname {E} (w_ {0} + L) = 0 {,} 5 \ cdot (0 + 0) +0 {,} 5 \ cdot (0 + 7 ) = 3 {,} 50}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {e} (u (w)) = \ operatorname {E} (u (w_ {0} + L)) & = 0 {,} 5 {\ sqrt {0+ 0}} + 0 {,} 5 {\ sqrt {0 + 7}} \\ & \ approx 0 {,} 5 \ cdot (0 + 2 {,} 65) ​​\ ok {1 {,} 32} \ end {aligned}}}$

Ekwiwalent bezpieczeństwa niepewnych aktywów w = w ₀ + L = L i premię za ryzyko oblicza się zatem dla gracza w następujący sposób:

${\ displaystyle u (CE) = \ operatorname {e} (u (w_ {0} + L)) \ iff {\ sqrt {CE}} \ około {1 {,} 32}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} CE \ około {1 {,} 32} ^ {2} \ około 1 {,} 75; \ RP & = \ operatorname {E} (w_ {0} + L) -CE \ \ & = 3 {,} 50-1 {,} 75 = 1 {,} 75 \ end {aligned}}}$

Jak widać, los na loterię byłby wart 1,75 euro mniej dla gracza bez grosza grosza niż odpowiada jego czysto arytmetyczna wartość: Chociaż bilet obiecuje średni zysk w wysokości 3,50 euro, gracz bez grosza byłby gotowy na 1,75 euro. aby odsprzedać kupon komuś innemu lub kupić go samodzielnie za maksymalnie te 1,75 €, ponieważ ryzyko utraty całkowitej stawki w tym przypadku przeważa nad perspektywą wygranej.

Przykład 2

Inny gracz z awersją do ryzyka z tą samą funkcją ryzyka i korzyścią i funkcją odwrotną również miałby ponownie ten sam los na loterię, na którym wypłacany byłby zysk w wysokości 7 euro z prawdopodobieństwem p = 0,5, ale teraz bezpieczne początkowe bogactwo w ₀ wynoszące 9 euro. ${\ displaystyle u (w) = {\ sqrt {w}}}$${\ Displaystyle w (u) = u ^ {2} \}$

Oczekiwana wartość niepewnego aktywa w = w ₀ + L oraz oczekiwana korzyść z udziału w loterii to:

${\ displaystyle \ operatorname {e} (w) = \ operatorname {E} (w_ {0} + L) = 0 {,} 5 \ cdot (9 + 0) +0 {,} 5 \ cdot (9 + 7 ) = 12 {,} 50}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {e} (u (w)) = \ operatorname {E} (u (w_ {0} + L)) & = 0 {,} 5 {\ sqrt {9+ 0}} + 0 {,} 5 {\ sqrt {9 + 7}} \\ & = 0 {,} 5 \ cdot (3 + 4) = 3 {,} 50 \ end {aligned}}}$

Ekwiwalent bezpieczeństwa niepewnych aktywów w = w ₀ + L i premię za ryzyko oblicza się dla gracza w następujący sposób:

${\ displaystyle u (CE) = \ operatorname {e} (u (w_ {0} + L)) \ iff {\ sqrt {CE}} = 3 {,} 50}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} CE = 3 {,} 50 ^ {2} = 12 {,} 25; \ RP & = \ nazwa operatora {E} (w_ {0} + L) -CE \\ & = 12 {,} 50-12 {,} 25 = 0 {,} 25 \ end {aligned}}}$

Jak widać, ten sam kupon na loterię byłby wart tylko 0,25 euro mniej dla „bogatego” gracza niż jego czysto arytmetyczna wartość: chociaż bilet obiecuje średni zysk w wysokości 3,50 euro, „zamożny” gracz byłby z tego powodu Jednak niechętnie ryzykujesz, jesteś gotów wydać na nią tylko 3,25 € lub odsprzedać go za 3,25 € (lub więcej).

Zależność premii za ryzyko od marży zysku

Zależność premii za ryzyko od marży zysku

Przypadek 1 - maksymalna wygrana = 1600 €

Przypadek 2 - Maksymalna wygrana = 3200 €

Umiejscowienie czynnika wpływającego w formule premii za ryzyko w oczekiwaniu na niepewne aktywa Kolejnym czynnikiem , na który ma wpływ, jest rozpiętość przyszłego zysku.

Przykład 1

Gracz z awersją do ryzyka bierze udział w finałowej rundzie programu telewizyjnego, w którym gracze w końcu muszą wybrać między dwojgiem drzwi, za którymi raz nic nie jest ukryte, innym razem 1600 €. Alternatywnie, zamiast wybierać między drzwiami, każdy gracz może natychmiast otrzymać 800 euro w gotówce jako nagrodę pocieszenia. Zarówno ta płatność gotówkowa, jak i gra z drzwiami mają tę samą obliczoną oczekiwaną wartość 800 €. Tzw Gracz neutralny pod względem ryzyka, który nie przejmowałby się ryzykiem wyboru niewłaściwych drzwi, byłby teraz niezdecydowany (obojętny), czy powinien zdecydować się na grę drzwiami, czy bezpieczną płatność gotówką - z drugiej strony gracz niechętny do ryzyka zawsze otrzyma bezpieczne 800 € woleć.

Zakładając, że funkcja ryzyko- korzyść gracza unikającego ryzyka i jego funkcja odwrotna to i , oczekiwaną wartość zysku przy domyslaniu w = T i oczekiwaną korzyść można obliczyć w następujący sposób: ${\ displaystyle u (w) = {\ sqrt {w}}}$${\ Displaystyle w (u) = u ^ {2} \}$

${\ displaystyle \ operatorname {e} (w) = \ operatorname {E} (T) = 0 {,} 5 \ cdot (0) +0 {,} 5 \ cdot (1600) = 800}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {e} (u (w)) = \ operatorname {E} (u (T)) & = 0 {,} 5 {\ sqrt {0}} + 0 {, } 5 {\ sqrt {1600}} \\ & = 0 {,} 5 \ cdot (0 + 40) = 20 \ end {aligned}}}$

Równoważnik bezpieczeństwa i premia za ryzyko drzwi zgadywanych są następnie obliczane w następujący sposób:

${\ displaystyle u (CE) = \ operatorname {e} (u (T)) \ iff {\ sqrt {CE}} = {20}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} CE = {20} ^ {2} = 400; \ RP & = \ operatorname {E} (T) -CE \\ & = 800-400 = 400 \ koniec {wyrównane}}}$

Jak widać, nie ma powodu, aby gracze z awersją do ryzyka z funkcją korzyści do ryzyka, taką jak ta powyżej, decydowali się na zgadywanie drzwi: „postrzegana” korzyść z oczekiwanej średniej wygranej w wysokości 800 euro jest taka sama, jak w przypadku bezpiecznej natychmiastowej wypłaty 400 €, o wiele mniej niż alternatywa oferowana przez showmastera w wysokości 800 €.

Przykład 2

Gdyby showmaster miał do czynienia tylko z takimi graczami (a większość ludzi ma awersję do ryzyka), pokaz wkrótce by się skończył. W związku z tym jedną z możliwości przekonania graczy do podjęcia ryzyka mogłoby być podwojenie zysku z 1600 do 3200 euro, a tym samym jego oczekiwanej wartości z 800 do 1600 euro:

${\ displaystyle \ operatorname {e} (w) = \ operatorname {E} (T) = 0 {,} 5 \ cdot (0) +0 {,} 5 \ cdot (3200) = 1600}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {e} (u (w)) = \ operatorname {E} (u (T)) & = 0 {,} 5 {\ sqrt {0}} + 0 {, } 5 {\ sqrt {3200}} \\ & \ approx 0 {,} 5 \ cdot (0 + 56 {,} 6) \ około 28 {,} 3 \ end {aligned}}}$

Równoważnik bezpieczeństwa i premia za ryzyko drzwi zgadywanych również podwajają się:

${\ displaystyle u (CE) = \ operatorname {e} (u (T)) \ iff {\ sqrt {CE}} \ około {28 {,} 3}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} CE \ około {28 {,} 3} ^ {2} \ około 800; \ RP & = \ nazwa operatora {E} (T) -CE \\ & = 1600-800 = 800 \ koniec {wyrównane}}}$

Jednak w nowej sytuacji nadal nie byłoby jasne, czy gracze rzeczywiście wybraliby średni zysk ze zgadywania drzwi wynoszący 1600 euro, czy raczej zdecydowaliby się na bezpieczną wypłatę w wysokości 800 euro, ponieważ ich „postrzegana” korzyść będzie teraz po prostu równoważy równoważnik wartości oczekiwanego wzrostu stopy procentowej E (T) . Zdecydowanie na korzyść zgadywania drzwi, zatem fala zmieniłaby się tylko wtedy, gdy zyski> 3200 €.

Zależność premii za ryzyko od przebiegu funkcji indywidualnego ryzyka i korzyści

Zależność premii za ryzyko od przebiegu funkcji użyteczności w awersji do ryzyka

Przypadek 1.1 - Zmniejszenie awersji do ryzyka

Przypadek 1.2 - Rosnąca awersja do ryzyka

Oprócz pozycji wartości oczekiwanej i spreadu niepewnego składnika aktywów w , decydującą rolę w określaniu premii za ryzyko odgrywa sam przebieg funkcji ryzyka i korzyści u (w) , a mianowicie jej wzrost i / lub krzywizna.

Przykład 1

Niechętny ryzyku uczestnik rynku z zaoszczędzoną fortuną 100000 euro dowiaduje się od swojego lekarza, że ​​w najgorszym przypadku może stracić 90% swojego majątku z powodu choroby, której koszty leczenia nie są pokrywane przez jego firmę ubezpieczeniową, jeśli choroba ta wybuchnie u niego, nawet jeśli tylko z nią. prawdopodobieństwo 1:10. Wybór, przed którym stoi, to:

A) wykupić odpowiednie dodatkowe ubezpieczenie i tym samym zapewnić, że ubezpieczyciel uwolni go od zmartwień o przyszłość, choćby niewielkiej, natychmiastowej utraty majątku (w postaci opłaconej składki ubezpieczeniowej) lub inaczej

B) nie wykupić dodatkowego ubezpieczenia, zaoszczędzić pieniądze na składkę ubezpieczeniową i samemu ponieść całe ryzyko kosztów leczenia, czyli ryzykować niepewną utratę majątku , która w tym przypadku nie jest aż tak prawdopodobna, ale tym poważniejsza .

Oczekiwaną wartość E (w) niepewnego składnika aktywów w uczestnika rynku oblicza się w następujący sposób, jeśli uwzględni się powyższe wartości początkowe i prawdopodobieństwa:

w ₀ = 10 000; w ₁ = 100 000; p (w ₀ ) = 10%
(w) = p * w ₀ + (1-p) * w ₁ = 10% x 10 000 + 90% x 100 000 = 91 000

Cała reszta zależy już od indywidualnego funkcji użyteczności uczestnika rynku - jest to uczestnik rynku unikania ryzyka z jednej z dwóch funkcji użytkowych pokazanych tutaj lub , na przykład, następujące scenariusze byłoby możliwe: ${\ displaystyle f_ {1}}$${\ displaystyle f_ {2}}$

1. Zachowanie uczestnika rynku opisuje funkcja użyteczności z odwrotnością . Użyteczność dwóch narożnych aktywów w ₀ i w _1, a także oczekiwaną użyteczność niepewnych aktywów w oblicza się w następujący sposób: W ten sposób oblicza się dla tego przypadku ekwiwalent zabezpieczenia niepewnych aktywów uczestnika rynku i wynikającą z tego premię za ryzyko:${\ displaystyle f_ {1} = {\ sqrt {w / 10}}}$${\ displaystyle f_ {1} ^ {- 1} = 10 \ cdot u ^ {2}}$
   ${\ Displaystyle u (w_ {0}) = {\ sqrt {10 000/10}} \ około 31 {,} 6; \ u (w_ {1}) = {\ sqrt {100 000/10}} = 100}$
   ${\ Displaystyle E (u (w)) = {\ Frac {10} {100}} \ cdot 31 {,} 6 + {\ Frac {90} {100}} \ cdot 100 \ około 93 {,} 16 = u (CE)}$
   
   ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} CE & = 10 \ cdot 93 {,} 16 ^ {2} \ około 86,788 \\ & \ Rightarrow RP = 91,000-86,788 = 4212 \ koniec {wyrównane}}}$
    
2. Zachowanie uczestnika rynku opisuje funkcja użyteczności z odwrotnością . Użyteczność dwóch podstawowych aktywów w ₀ i w ₁ oraz oczekiwaną użyteczność niepewnych aktywów w oblicza się następnie w następujący sposób: Ekwiwalent zabezpieczeń niepewnych aktywów uczestnika rynku i wynikająca z tego premia za ryzyko oblicza się w tym przypadku jako:${\ Displaystyle f_ {2} = (200 000 \, ww ^ {2}) / 10 ^ {8}}$${\ Displaystyle f_ {2} ^ {- 1} = (10 - {\ sqrt {100-u}}) \ cdot 10 ^ {4}}$
   ${\ Displaystyle u (w_ {0}) = (2 \ cdot 10 ^ {9} -10 ^ {8}) / 10 ^ {8} = 19; \ u (w_ {1}) = (2 \ cdot 10 ^ {10} -10 ^ {10}) / 10 ^ {8} = 100}$
   ${\ Displaystyle E (u (w)) = {\ Frac {10} {100}} \ cdot 19 + {\ Frac {90} {100}} \ cdot 100 = 91 {,} 90 = u (CE)}$
   
   ${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} CE & = (10 - {\ sqrt {100-91 {,} 9}}) \ cdot 10 ^ {4} \ około 71,540 \\ & \ Rightarrow RP = 91,000-71,540 = 19,460 \ end {aligned}}}$

Jak widać, ekwiwalent zabezpieczenia niepewnych aktywów dla uczestnika rynku w pierwszym przypadku jest o kolejne 4212 euro poniżej oczekiwanej wartości jego aktywów wynoszącej 91000 euro - byłby zatem skłonny zapłacić łącznie do 13212 euro, aby uniknąć ryzyka kosztów leczenia (w Kwota 9.000 €). W drugim przypadku ekwiwalent zabezpieczenia uczestnika rynku jest jeszcze niższy - cena ubezpieczenia mogłaby wzrosnąć do 28.460 euro ze względu na awersję ubezpieczonego do ryzyka, z czego 19.460 euro stanowiłoby średnią składkę netto ubezpieczyciela za narażenie ubezpieczonego na koszty leczenia (wynosząca 9.000 €).

Zależność premii za ryzyko od przebiegu funkcji użyteczności z powinowactwem do ryzyka

Przypadek 2.1 - Zmniejszanie powinowactwa ryzyka

Przypadek 2.2 - Rosnące powinowactwo do ryzyka

Przykład 2

Podejmujący ryzyko uczestnik rynku z zaoszczędzoną fortuną w wysokości 10 000 € może wziąć udział w ryzykownym zakładzie, w którym mógłby dziesięciokrotnie zwiększyć swoją fortunę, choćby z prawdopodobieństwem 1:10. Wybór, przed którym stoi, to:

A) kupić los na loterię i że operator gry bukmacherskiej daje mu szansę na dziesięciokrotny wzrost jego aktywów, jeśli także mały, natychmiastowy sejf, który zaakceptuje utratę aktywów (w postaci opłaty za zakłady), lub

B) nie kupować kuponu, a tym samym zaoszczędzić na nim pieniądze, ale także stracić szansę na niepewny , ale tym bardziej znaczący zysk kapitałowy.

Oczekiwaną wartość E (w) niepewnego składnika aktywów w uczestnika rynku oblicza się w następujący sposób, jeśli uwzględni się powyższe wartości początkowe i prawdopodobieństwa:

w ₀ = 10 000; w ₁ = 100 000; p (w ₁ ) = 10%
E (w) = (1 - p) w ₀ + p w ₁ = 90% 10 000 + 10% 100 000 = 19 000

Wszystko inne zależy teraz od indywidualnej funkcji użyteczności uczestnika rynku - jeśli jest to uczestnik rynku podejmujący ryzyko z jedną z dwóch przedstawionych tutaj funkcji użyteczności lub , na przykład, możliwe byłyby następujące scenariusze: ${\ displaystyle f_ {3}}$${\ displaystyle f_ {4}}$

1. Zachowanie uczestnika rynku opisuje funkcja użyteczności z odwrotnością . Użyteczność dwóch narożnych aktywów w ₀ i w _1, a także oczekiwaną użyteczność niepewnych aktywów w oblicza się w następujący sposób: W ten sposób oblicza się dla tego przypadku ekwiwalent zabezpieczenia niepewnych aktywów uczestnika rynku i wynikającą z tego premię za ryzyko:${\ displaystyle f_ {3} = w ^ {2} / 10 ^ {8} \,}$${\ displaystyle f_ {3} ^ {- 1} = {\ sqrt {u}} \ cdot 10 ^ {4}}$
   ${\ Displaystyle u (w_ {0}) = 10 000 ^ {2} / 10 ^ {8} = 1; \ u (w_ {1}) = 100 000 ^ {2} / 10 ^ {8} = 100}$
   ${\ Displaystyle E (u (w)) = {\ Frac {90} {100}} \ cdot 1 + {\ Frac {10} {100}} \ cdot 100 = 10 {,} 90 = u (CE)}$
   
   ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} CE & = {\ sqrt {10 {,} 90}} \ cdot 10 ^ {4} \ około 33,015 \\ & \ Rightarrow RP = 19,000-33,015 \ około -14,015 \ koniec {wyrównane }}}$
    
2. Zachowanie uczestnika rynku jest opisane funkcją użyteczności z odwrotnością . Użyteczność dwóch narożnych aktywów w ₀ i w _1, a także oczekiwaną użyteczność niepewnego składnika aktywów w oblicza się w następujący sposób: W tym przypadku oblicza się zatem ekwiwalent zabezpieczenia uczestnika rynku i wynikającą z niego premię za ryzyko:${\ displaystyle f_ {4} = 100 - {\ sqrt {10 ^ {4} -w / 10}}}$${\ Displaystyle f_ {4} ^ {- 1} = 10 \ cdot (200 \ cdot uu ^ {2})}$
   ${\ Displaystyle u (w_ {0}) = 100 - {\ sqrt {10 ^ {4} -10 000/10}} \ około 5 {,} 127; \ u (w_ {1}) = 100 - {\ sqrt {10 ^ {4} -100 000/10}} = 100}$
   ${\ Displaystyle E (u (w)) = {\ Frac {90} {100}} \ cdot 5 {,} 127 + {\ Frac {10} {100}} \ cdot 100 \ około 14 {,} 61 = u (CE)}$
   
   ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} CE i = 10 \ cdot (200 \ cdot 14 {,} 61-14 {,} 61 ^ {2}) \ około 27,085 \\ & \ Rightarrow RP = 19,000-27,085 \ około - 8.085 \ end {aligned}}}$

Jak widać, ekwiwalent zabezpieczenia niepewnych aktywów w uczestnika rynku w pierwszym przypadku wynosi około 14015 EUR powyżej średniego oczekiwanego bogactwa w wysokości 19000 EUR - uczestnik rynku byłby zatem skłonny wydać do 33015 EUR na tę okazję. Fortuna wzrośnie dziesięciokrotnie. Z drugiej strony, w drugim przypadku ekwiwalent zabezpieczenia wynosi tylko około 8085 € powyżej oczekiwanej wartości - w tym przypadku cena kuponu mogłaby więc wynosić maksymalnie 27085 €, z czego 8085 € byłoby średnią premią netto organizatora zawodów za danie graczowi szansy na wygraną (w wysokości 90000 €).

aspekty ekonomiczne

Premia za ryzyko jest bezpośrednio związane z postawą ryzyka na decydenta . W związku z tym do premii za ryzyko można przypisać następujące ustawienia ryzyka :${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle R = 0}$ neutralne pod względem ryzyka ,

${\ displaystyle R> 0}$ awersja do ryzyka ,

${\ displaystyle R <0}$ ryzykant .

Duże znaczenie ma stosunek do ryzyka w bankowości i ubezpieczeniach . Instytucje kredytowe muszą, że od inwestorów prywatnych zostać wprowadzone do ryzyka finansowego wystąpienia inwestycji w rachunku przydatności przed zawarciem celu zabezpieczenia zgodnie z § 64 ust. 4 WpHG , co potwierdzają zgodne z tolerancji ryzyka inwestora, natomiast klasa aktywów i kategoria ryzyka muszą być brane pod uwagę. Inwestorzy neutralni pod względem ryzyka oczekują zwrotu w wysokości stopy procentowej wolnej od ryzyka, ponieważ nie żądają premii za ryzyko i nie wykorzystują ryzyka. Z drugiej strony inwestorzy niechętni do ryzyka preferują inwestycje, które płacą premię za ryzyko. Z kolei ryzykowni inwestorzy otrzymują nawet premię za ryzyko od kontrahenta . Na rynku ubezpieczeniowym istotna jest postawa potencjalnego ubezpieczającego w zakresie ryzyka , niezależnie od tego, czy iw jakim zakresie jest on skłonny do objęcia ochroną ubezpieczeniową istniejącego ryzyka . Klient unikania ryzyka będzie tylko chętnych do podjęcia składki do zapłacenia, na podstawie oczekiwanej wartości na uszkodzenia to: ryzyko unikania jest skłonny zapłacić wyższą składkę niż wartość oczekiwaną: będzie gotowy spędzając składkę ubezpieczenia podmiotu gospodarczego ryzyka neutralne dokładnie oczekiwana wartość odpowiada ryzyka dla: . Oczekiwana wartość szkody ( ) jest parametrem decyzyjnym dla ubezpieczającego. ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle E_ {w}}$${\ displaystyle V <E_ {w}}$${\ displaystyle V> E_ {w}}$${\ displaystyle V = E_ {w}}$${\ Displaystyle E_ {w} \ cdot prawdopodobieństwo wystąpienia}$

Zobacz też

• premia

Indywidualne dowody

1. ↑ Springer Fachmedien Wiesbaden (red.), Compact Lexicon Internationale Wirtschaft , 2013, str. 320
2. ↑ Springer Fachmedien Wiesbaden (red.), Gabler Volkswirtschafts-Lexikon , 1997, str. 513
3. ↑ Springer Fachmedien Wiesbaden (red.), Gabler Volkswirtschafts-Lexikon , 1997, str. 570
4. ↑ Springer Fachmedien Wiesbaden (red.), Gabler Volkswirtschafts-Lexikon , 1997, str. 931
5. ↑ Dieter Farny / Elmar Helten / Peter Koch / Reimer Schmidt (red.), Handwortbuch der Versicherung HdV , 1988, str. 525 i nast .
6. ↑ Helmut Laux: Teoria decyzji ; Springer-Verlag 2005, ISBN 3-540-23576-0 , s. 216 i nast.
7. ↑ Por Rudi Zagst: Teoria portfela i Wycena aktywów (wykład skrypt ., 2008), str 61. ( pamiątka z oryginałem z dnia 17 grudnia 2010 roku w Internet Archive ) Info: archiwum Link został wstawiony automatycznie i nie została jeszcze sprawdzona. Sprawdź oryginalny i archiwalny link zgodnie z instrukcjami, a następnie usuń to powiadomienie. @ 1@ 2Szablon: Webachiv / IABot / www.mathfinance.ma.tum.de
8. ↑ Peter Kischka: Lecture Statistics II, rozdz. IV: Wprowadzenie do teorii decyzji ; Jena, WS 2005/2006, s. 21.
9. ↑ Helmut Laux: Teoria decyzji ; Springer-Verlag 2005, ISBN 3-540-23576-0 , s. 227-229.
10. ↑ Florian Bartholomae / Marcus Wiens, Teoria gier: podręcznik zorientowany na aplikacje , 2016, s.11
11. ↑ Matthias Kräkel, Organizacja i zarządzanie , 2007, s.70
12. ↑ Florian Bartholomae / Marcus Wiens, Teoria gier: podręcznik zorientowany na aplikacje , 2016, s.11
13. ↑ Hans-Bernd Schäfer / Claus Ott, podręcznik ekonomicznej analizy prawa cywilnego , 1986, s.257